完全平方公式的变形练习

完全平方公式是数学中的一个重要概念，它包括两个公式：(a+b)²=a²+2ab+b² 和 (a-b)²=a²-2ab+b²。这些公式在代数运算和因式分解中有广泛应用。以下是完全平方公式的变形练习的一些示例和详细解释：

练习题1

已知 m+n-6m+10n+34=0，求 m+n 的值。

解法：

首先，我们可以将给出的等式重新排列，得到 (m+n)^2 - 6(m+n) + 10n + 34 = 0。

这是一个完全平方公式的形式，我们可以将其视为 (m+n)^2 - 6(m+n) + 9 + 1 + 34 = 0。

进一步化简得到 ((m+n)-3)^2 + 45 = 0。

由于 ((m+n)-3)^2 >= 0，因此只有当 ((m+n)-3)^2 = 0 时，整个等式才会成立。

这样我们就得到了 (m+n) - 3 = 0，从而得到 m+n = 3。

练习题2

已知 x^2y^2 - 4x^6y^130，x、y 都是有理数，求 xy 的值。

解法：

首先，我们可以将给出的等式重新排列，得到 (xy)^2 - 4(xy)^6 - 130 = 0。

这是一个完全平方公式的形式，我们可以将其视为 ((xy)^3 - sqrt(130))^2 + (sqrt(130))^2 - 4(xy)^6 = 0。

进一步化简得到 ((xy)^3 - sqrt(130))^2 = 0。

由于 ((xy)^3 - sqrt(130))^2 >= 0，因此只有当 ((xy)^3 - sqrt(130))^2 = 0 时，整个等式才会成立。

这样我们就得到了 (xy)^3 - sqrt(130) = 0，从而得到 (xy)^3 = sqrt(130)。

因此，xy = [sqrt(130)]^(1/3)。

练习题3

已知 ab=6, ab=4，求 a^2b^2 与 (ab)^2 的值。

解法：

根据完全平方公式 (a-b)²=a²-2ab+b²，我们可以得到 a^2b^2 - 264 + b^2 = (ab)^2 - 264。

将已知条件 ab=6, ab=4 代入上述等式，得到 a^2b^2 - 48 + b^2 = (ab)^2 - 48。

进一步化简得到 a^2b^2 - (ab)^2 = b^2 - b^2 = 0。

因此，a^2b^2 = (ab)^2。

练习题4

已知 (a+b)²=60, (a-b)²=80，求 a²+b² 及 ab 的值。

解法：

根据完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b² 和 (a-b)²=a²-2ab+b²，我们可以得到 a²+2ab+b²=60 和 a²-2ab+b²=80。

将上述两个等式相加和相减，得到 a²+b²=70 和 ab=5。

以上是一些完全平方公式的变形练习题及其解法。通过这些练习，可以帮助学生更好地理解和掌握完全平方公式，并能够在解决实际问题时灵活运用。