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立方和公式是数学中的一个重要公式,用于简化复杂的数学运算。该公式的文字表达为:两数和,乘它们的平方和与它们的积的差,等于这两个数的立方和;表达式为:(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³。下面我们将详细介绍如何通过不同的方法来验证这个公式。
这是一种直观的方法,通过绘制立体图像来验证立方和公式。具体步骤如下:
- 把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可以间接得到。
- 设两个立方体的边长分别为a和b,总和为:a³ + b³。
- 把两个立方体对角贴在一起,可以得到一个新的立方体,其边长为a+b,体积为(a+b)³。
- 根据立方体体积的计算公式,我们可以得知(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³。
- 但因为两个立方体是贴在一起的,所以它们的底面重叠的部分体积会被计入两次,即3a²b + 3ab²。
- 所以,总和a³ + b³实际上等于新的立方体的体积减去底面重叠部分的体积,即(a³ + b³) = (a+b)³ - 3ab(a+b)。
- 最后,展开并整理得到(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³,这就验证了立方和公式。
另一种验证立方和公式的方法是利用因式分解。具体步骤如下:
- 首先,我们将等式两边都乘以(a-b),得到(a+b)(a²-ab+b²)(a-b)=a³-b³。
- 展开左边的式子,我们得到:(a³+3a²b+3ab²+b³)-(a²b-a²b-ab²+b³)=a³-b³。
- 整理后得到:a³+2a²b+2ab²+b³=a³-b³。
- 再次展开并整理,得到:(a+b)[a²-(a-b)b]=a³-b³。
- 化简后得到:(a+b)(a²+ab+b²)=a³-b³,这就验证了立方差公式。
- 然后,我们可以把a和-a代入上述公式,得到:(a-a)(a²-a^2+a²)=a³-a³,进一步化简得到:0=0。
- 这意味着,立方差公式是成立的。
- 最后,我们可以把上述两个公式相加,得到:2(a³+b³)=2(a³-b³)+(a+b)(a²+ab+b²)+(a-b)(a²+ab+b²)。
- 展开并整理后得到:2(a³+b³)=2(a³-b³)+(a²+ab+b²)(a+b+a-b)。
- 化简后得到:2(a³+b³)=2(a³-b³)+(a²+ab+b²)×2a。
- 最后,整理得到:(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³,这就验证了立方和公式。
通过上述两种方法,我们可以有效地验证立方和公式,并且理解其背后的数学原理。这些方法不仅适用于理论验证,也可以在实际问题中应用,帮助我们简化复杂的数学运算。
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本文由作者笔名:书生 于 2024-05-21 06:48:27发表在中视教育资讯网官网,本网(平台)所刊载署名内容之知识产权为署名人及/或相关权利人专属所有或持有,未经许可,禁止进行转载、摘编、复制及建立镜像等任何使用,文章内容仅供参考,本网不做任何承诺或者示意。
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